土曜日 - #daiizメモ

57個の素数を連続して生む数列 $G$ を見つけた。

まず、二次多項式

$A(t)=3t(t+1)+23$

を考える*1。整数 $k$ に対して、

$L_k=A(-2k),\qquad R_k=A(2k)$

と定める。

任意の整数 $m$ を

$m=5k+s, \qquad s\in{-2,-1,0,1,2}$

と一意に表し、数列 $G$ を次のように定義する。

$\begin{aligned} G(5k+s) &= \begin{cases} L_k, & s=-2,\\ 2L_k-15, & s=-1,\\ \dfrac{L_k+R_k+R_0+L_{13}}{2}, & s=0,\\ 2R_k-15, & s=1,\\ R_k, & s=2. \end{cases} \end{aligned}$

このとき、

$G(0),G(1),\ldots,G(56)$

は57個すべてが相異なる素数となる。

また、この数列は左右対称であり、

$G(-m)=G(m) \qquad (m\in\mathbb Z)$

が成り立つ。美しい。

生成結果に自分の生まれ年 1993 も入っているのでさらに美しい。

*1:この式は、過去に 3n(n + 1) + 23 型の素数 - daiiz で見つけたやつ。これ単体では連続22個の生成が限界だった。