偶関数と奇関数

高校で初めて聞いた時には「なんかよくわからん」だった「偶関数」と「奇関数」について書きたいと思います*1。 当時考えた自己流の覚え方のメモです。*2

定義

関数が以下の性質を満たす場合、偶関数であるという。

これはつまり、のグラフが軸に関して線対称である関数のことである。

例：

関数が以下の性質を満たす場合、奇関数であるという。

これはつまり、のグラフが原点に関して点対称である関数のことである。

例：

重要な性質

積分をするときなどに役立つのが以下の3つの性質です。

(a) 偶関数 × 偶関数 ＝ 偶関数
(b) 奇関数 × 奇関数 ＝ 偶関数
(c) 偶関数 × 奇関数 ＝ 奇関数

覚え方

ビジュアル化して覚える方法です。以下に例を示しますが、数学的な説明ではありません。僕が実際に使っていた覚え方です。

偶関数 × 偶関数 ＝ 偶関数

偶関数の代表として x² を使うと、x² × x² ＝ x⁴ であり、これは下図のように、軸に関して線対称であるグラフなので偶関数です。

奇関数 × 奇関数 ＝ 偶関数

奇関数の代表として x を使うと、x × x ＝ x² であり、これは下図のように、軸に関して線対称であるグラフなので偶関数です。

偶関数 × 奇関数 ＝ 奇関数

偶関数の代表として x²、奇関数の代表として x を使うと、x × x² ＝ x³ であり、これは下図のように、原点に関して線対称であるグラフなので奇関数です。

*1:はてなブログでTEXが使えるということを知り試してみたかったので書きました。

*2:本記事に登場するグラフの画像は、「x²」や「x⁴」をGoogleで検索した際にトップに表示されたグラフのスクリーンショットを用いました。